2.3 Một hành-tinh hay một giọt-mưa phát-triển như-thế-nào?
Khi đang-hình-thành, những-hành-tinh và những-giọt-mưa
phát-triển bằng-cách bồi-đắp vật-chất (nước hoặc tiểu-hành-tinh) ở bề-mặt của-chúng.
Hình-dạng cơ-bản của một hành-tinh hay một giọt-mưa là một
hình-cầu. Khi một khối-cầu tăng kích-thước, diện-tích bề-mặt để bồi-đắp vật-chất
tăng-lên, và vì-vậy tốc-độ phát-triển tăng-lên.
Trong loạt vấn-đề dưới-đây, chúng-ta sẽ đi-theo tiến-trình
logic từng-bước-một để dẫn đến một mô-hình toán-học đơn-giản cho việc-tiên-đoán
một hành-tinh hay một giọt-nước hình-thành nhanh như-thế-nào.
Vấn-đề #1:
Phương-trình vi-phân của sự-phát-triển khối-lượng vật-thể bằng
sự-bồi-đắp được-đưa-ra bởi phương-trình 1 và khối-lượng vật-thể được-đưa-ra bởi
phương-trình 2
Phương-trình 1:
Phương-trình 2:
Trong-đó:
R là bán-kính của vật-thể tại thời-điểm t
V là tốc-độ của vật-liệu bồi-đắp
r là mật-độ
của vật-chất bồi-đắp
D là mật-độ của vật-thể
Hãy-giải phương-trình 2 theo hàm R(t), sau-đó thế vào
phương-trình 1 và đơn-giản
Vấn-đề #2:
Kết-hợp kết-quả Vấn-đề #1 để rút-ra công-thức tính M(t)
Sự-nhưng-tụ của hạt-mưa: một hạt-mưa điển-hình có-thể
hình-thành sao-cho khối-lượng cuối-cùng của-nó khoảng 100 mg và D = 1000 Kg/m3,
dưới điều-kiện khí-quyển r
= 1 Kg/m3 và V = 2 m/s. Mất bao-lâu để ngưng-tụ một giọt-mưa?
Sự-bồi-đắp của hành-tinh: một hành-tinh đầy-đá điển-hình
có-thể hình-thành sao-cho khối-lượng cuối-cùng khoảng bằng Trái-Đất 5.9x10^24
Kg, và D = 3000 Kg/m3, dưới điều-kiện r
= 0.000001 Kg/m3 và V = 1 Km/s. Mất bao-lâu để bồi-đắp một hình-tinh như-vậy, sử-dụng
mô-hình toán-học xấp-xỉ.
Trả-lời:
Vấn-đề #1:
Từ phương-trình 2, ta có:
Thế vào phương-trình 1, ta có:
Vấn-đề #2:
Sắp-xếp-lại các-số-hạng ta có:
Lấy-tích-phân hai vế:
Sự-nhưng-tụ của hạt-mưa:
Sự-bồi-đắp của hành-tinh:
